Pentsamendu matematikoaren garapena

Pentsamendu matematikoaren garapenari buruz hirugarren mailako lehen lauhilekoan izan dugun ikasgaia oso interesgarria izan da. Alde batetik, pentsamendu matematikoa haurrengan nola garatzen den ikasi dugu, graduaren hasieran psikologiaren arlotik landutako autore batzuen iritziak aztertuta (Piaget, bereziki).

Bestetik, matematikaren garapenaren historiako alderdi batzuk ezagutu ahal izan ditugu, zenbakikuntza sistemen inguruan bereziki.

Gelan landutako eduki batzuk Haur Hezkuntzan matematikaren didaktikari buruzkoak izan dira, batez ere gai bakoitzaren inguruan material didaktikoak aztertu ditugunean. Hala ere, edukietako asko gu haurraren tokian jartzera zuzenduta egon dira, pentsamendu matematikoaren garapenak zenbaterainoko konplexutasuna zuzenean esperimenta dezagun. Horrela, guretzat hain ohiko bihurtu den hamar oinarria alde batera utzi, eta bestelako oinarrietan eragiketa aritmetikoak egin ditugu, heldutan arnas hartzea bezain natural iruditzen zaizkigun batuketak, kenketak, biderketak eta zatiketak haur batek lehen aldiz lantzen dituenean sentituko duenaz jabe gaitezen.

Jarraian, ikasitako kontzeptuetako batzuk laburbilduko ditut, ikasgaiaren laburpen gisa.

Alderdi metodologikoari begiratuta, matematikaren arlotik bi autore nagusi aipatu ditugu: bata, aurreko puntuan aipatutako Bruner, eta bestea Dienes. Bruner-en garapen kognitiboaren teoriaren arabera, gizakiok kontzeptuak eraikitzeko bideak hiru urrats hauek jarraitzen ditu:

1. Manipulaziozko maila: haurrak mundua arituz ulertzen du (Piaget-en etapa sentso-motorraren antzekoa litzateke).
2. Maila grafikoa: haurra mundua irudikatzen hasten da. Kontzeptu matematikoen kasuan, objektuaren krokisa edo eskema sortuko du. (Piaget-en aurre-eragiketen etaparen antzekoa litzateke).
3. Maila sinbolikoa: haurrak ideia abstraktuak, sinboloak, hizkuntza eta logika ulertu eta erabiliko ditu. Kontzeptu matematikoen kasuan, objektuaren sinboloa erabiliko du.

Helduok ere aplikatzen ditugu hiru urrats hauek berria den zerbait ikasteko. Horregatik, oso garrantzitsua da ikaskuntza prozesuan hiru etapa hauek errespetatzea. Haur Hezkuntzako etapan zehar hiru urratsak burutzen dituen kontzeptu matematiko nagusia (eta normalean bakarra) zifra bakarreko zenbaki arruntak dira.

Dienes matematikari eta psikopedagogoak, bestetik, matematikako kontzeptuen irakaskuntzarako lau printzipio proposatu zituen:

1. Printzipio dinamikoa: haurrek manipulaziozko esperimentaziotik abiatu behar dute kontzeptu matematikoen ikaskuntzan, eta material didaktikoak sekuentzia honi jarraituz erabili behar dira:
• Jolas librea: haurrari materiala aurkeztu eta nahi duen bezala jolasten utziko zaio.
• Jolas arautua: arauak emanez jolasak proposatuko zaizkio haurrari.
• Estrategia jolasak: helburu bat finkatu eta horretara iristeko modu desberdinak daudenez, haurrak bat aukeratu beharko du, arauak errespetatuta. Haur Hezkuntzan ez da lantzen zuzenean, baina bai lantzen da helburu batera iristeko modu diferenteak daudela.
2. Osotasun printzipioa: haurrak hamar bat urte bete arte, eta zenbat eta txikiago, orduan eta gehiago, osotasunetik abiatu behar da, objektua bere osotasunean landu behar da, eta ez bere propietateak isolaturik.
3. Aldakortasun matematikoaren printzipioa: kontzeptu matematikoak bestelako kontzeptu matematikoekin batera agertzen dira, ez isolatuta. Horregatik, kontzeptu bat lantzeko kontzeptu matematiko lagungarriez baliatuko gara. Adibidez, zenbaki arruntak maila grafikoan lantzean, ikurren konfigurazioa eta haien arteko distantzia aldatuko ditugu.
4. Aldakortasun pertzeptiboaren printzipioa: kontzeptu matematikoak askotariko material eta ariketak erabilita landuko ditugu.

Sailkapena eta seriatzeari lotuta, horiek landu ahal izateko haurrak hainbat oinarrizko garapen logiko beharrezko ditu: objektuari lotuta dauden analisia eta sintesia, eta prozesuari lotutako dedukzioa eta indukzioa. Hona hemen horien azalpenak:

• Analisia: objektuaren ezaugarriak zerrendatzean datza; zer den, eta zer ez den azaltzea. Propietateak (kolorea, adibidez) eta propietate bakoitzaren balioa (gorria, adibidez) zehaztuz egiten da.
• Sintesia: kontrako ariketa da; propietateen balioetatik abiatuta, objektua identifikatzea. Asmakizun moduan plantea daiteke (horia da, handia eta azal leunekoa; zein pieza da?).

Sintesia eta analisia lotuta daude; zenbat eta analisia gehiago landu, orduan eta errazago egingo da sintesia. Sailkapena egin ahal izateko, analisia ezinbestekoa da.

• Dedukzioa: arau bat jasota, arau hori beteko duen prozesua abiaraztean datza.
• Indukzioa: prozesu bat ikusita, berau azalduko duen legea formulatzean datza.

Adibidez, haurrari segida bat erakutsi eta jarrai dezala eskatzen zaionean, indukzioa aplikatuko du legea aurkitzeko, eta dedukzioa segida osatzeko. Seriatzea egiteko dedukzioa ezinbestekoa da.
Geometriaren arloan, haurra irudiaren propietate geometriko ezberdinez jabetzen joango da garapenean zehar, ordena honi jarraituta:

1. Ezaugarri topologikoak: marra irekia/itxia, irudiaren barruan/kanpoan/ertzean, antolatzearen ordena/tartean. Piaget-en esanetan, hiru urterekin ematen da jabetza.
2. Ezaugarri proiektiboak: marra zuzena eta poligono motaz ohartzea. 5-6 urterekin lortzen dira.
3. Antzekotasunezko ezaugarriak: paralelotasuna, angeluak.
4. Ezaugarri isometrikoak: luzerak

Hala ere, Van Hiele, Dina eta Pierre-ren ustez, geometriaren ulermena, maila batetik aurrera, garapenari bano gehiago esperientziari lotua dago, hau da, geometriaren lanketari.

Erreferentzia sistemei dagokienez, Haur Hezkuntzako etapako haurrak bere burua erabiliko du lehendabizi erreferentzia gisa, ondoren besteak bere buruarekiko kokatu ahal izango ditu, eta azkenik objektuak beste objektu batzuekiko kokatu ahal izango ditu.

Oinarrizko higidura isometrikoen artean, objektuen desplazamenduak (plano berean eta norabide zehatz batean egindako lekualdaketak) eta biraketak (plano berean eta ardatz batekiko egindako lekualdaketak) ulertuko ditu azkarren haurrak, simetria (planotik aterata ardatz batekiko egindako lekualdatzea) gehiago kostako zaion bitartean.

Aritmetikan, zenbaketa prozesua ulertzeak denbora eramango dio haurrari, kardinala multzoaren propietatea dela barneratzea, eta berau multzoko elementuen propietate fisikoetatik independentea dela eta bijekzioaren bitartez topatutako baliokidetasuna iraunkorra dela barneratzea kostako zaizkiolako. Haur Hezkuntzaren etaparen amaieran lortuko du.

Magnitudeei dagokienez, gogoratu behar dugu alde batetik magnitude diskretuak ditugula, hau da, konta daitezkeenak (adibidez, kardinala) eta, bestetik, magnitude jarraiak, hau da, neurtzen direnak. Azken hauen artean magnitude geometrikoak (luzera, anplitudea, azalera eta bolumena) eta fisikoak ditugu (pisua, denbora, masa, tenperatura eta abar). Magnitude jarraien neurketan, unitate arbitrario bat erabaki ondoren, beti hiru alderdi dituen prozesua burutu behar da:

1. Alderdi fisikoa: unitatearen kopiak sortu eta bata bestearen jarraian modu egokian jarri.
2. Alderdi logikoa: unitatearen kopiak kokatu ahala norberaren buruari galdetu behar zaio ea iritsi ote garen neurtu nahi genuenaren mugara eta, erantzunaren arabera, unitate gehiago gehitzen jarraitu, ala gelditu.
3. Alderdi aritmetikoa: erabilitako unitateen kopurua kontatu.

Piaget-en esanetan, haurrak sei urterekin barneratzen ditu kardinala, luzera, masa eta edukieraren iraunkortasuna edo kontserbazioa; bederatzi urterekin azalerarena, eta hamabi urteak arte ez da gai bolumena, pisua eta masa haien artean erlazionatzeko. Aurrerapauso horiek esperientziaren bitartez emango ditu, eta horregatik Piaget-ek ondoko ordena proposatzen du kontzeptu horien didaktikarako:

1. Neurketaren beharraz jabetzea. Irakasleak galderak eginez sortuko du kezka hori haurrarengan (kaxa hau kabituko ote da horko armairuan?).
2. Kantitateen arteko konparaketa modu zuzenean egitea (kaxa eskuetan hartu eta armairura eramanda).
3. Konparaketa modu zuzenean egiterik ez bada, bitartekotza gorputz-atal batekin egitea (kaxa oso astuna bada, besoa erabili kaxa eta armairuko zuloa neurtzeko).
4. Bitartekotza edozein objekturekin egitea (arkatz bat erabili kaxa eta armairuaren zuloa neurtzeko).

Hortaz, magnitudeen neurketa konplexutasun handiko prozesua da, Haur Hezkuntzako etaparen barruan hainbat magnituderentzat erabateko ulermenaz osatzen oso zaila izango dena. Bestetik, pisuaren kasuan neurketaren alderdi logikoa burutzen zaila da, pisuaren pertzepzioa nahiko subjektiboa delako, eta horregatik balantzaren beharra dago pisatu nahi den objektua eta erabilitako unitatearen kopiak konparatu ahal izateko. Bolumenari dagokionez, Haur Hezkuntzan edukiera landu ohi da (sakonera baten bolumena), eta ez dira unitateak lantzen. Denbora ulertzeko oso zaila den magnitudea da eta horregatik Haur Hezkuntzan denbora sekuentzien seriatzea landu ohi da. Orokorrean, ez da inolako magnituderen neurketarik egiten aipatutako hiru alderdiak osotasunean burutuz, baizik eta magnitudeekiko seriatzeak landu edo gorputzarekin eta objektuekin bitartekotza aplikatuta neurketak egin.

Beraz, magnitudeen artean argi dago Haur Hezkuntzako etapan neurtzeko modukoak izan daitezkeen nagusiak kardinala, luzera eta edukiera izango direla, eta neurketa egiteko ez direla orokorrean ohiko unitateak erabiliko.

Zientzia Esperimentaletako sekuentzia didaktikoa

Zientzia esperimentalei buruzko ikasgaian egin dugun lan nagusia sekuentzia didaktiko baten diseinua izan da. Hau ere blogetik kanpo jasotako lana izan da, Wix plataforman sortutako webgune batean bildu baitugu, Haizearekin Jolasean izenpean. Webgunea prestatzeko lana nire ardura izan denez, formatuari dagokionean ez naiz konplikatu, eta arte plastikoetako portfolioaren txantiloi bera hartu dut oinarri bezala.

Haizearen inguruan jarduera interesgarriak sortu ditugula iruditzen zait, baina agian, nire ikuspuntutik behintzat, lanaren baliorik handiena metodologiaren atalean landu dugunean dago. Bi ataletan banatu dugu: alde batetik, metodologiari buruzko hainbat azalpen orokor eta, bestetik, metodo zientifikoa jarraituko duten jarduerei buruzkoa. Gainera, pentsamendu matematikoaren ikasgaian landutako kontzeptuak txertatu ditugu, ikuspegia asko aberastu dutenak. Bestetik, zientziako sekuentzia didaktikoa den arren, denetarik jarduerak daude, haizearen gaia bide oso desberdinetatik ulertzeko modukoak, hala nola, antzerkia edo musika. Aurrerantzean oso lagungarri suertatuko zaidala iruditzen zait.

Arte Plastikoen portfolioa

Ikasturte honetan kosta egiten ari zait lana blogerantz bideratzea, eta spin-off mordoxka sortzen ari zaizkit. Horietako bat Arte Plastikoak IIko portfolioa da. Lana blogean egiten hasi banintzen ere, iruditu zitzaidan hau ez zela formaturik egokiena, eta Wix plataforman webgune txiki bat sortu nuen. Bertara eraman nituen hemen ikasgaiaren inguruan idatzitakoak eta horren gainean egin nuen lan.

Hementxe dago emaitza, oraingoz oso pozik utzi nauena. Bigarren lauhileko honetan zehar espero dut portfolioa osatzen jarraituko dugula, irakaslea aldatuko badigute ere.

Haur Hezkuntzarako arte plastikoetako proposamen baten deskribapena: taldeko ondorioak

Talde txikian eztabaidatu dugu gure esperientzia, eta oso antzekoa izan dela ikusi dugu. Orokorrean, arte plastikoen inguruan egiten diren jarduerek motrizitate fina lantzea dute helburu, eta oso gidatuak daude. Normalean, haurrek eredu baten gainean egiten zuten lan (fitxa bat).

Batzuetan, gainera, oso denbora gutxi ematen zaio gaiari.

Haur Hezkuntzarako arte plastikoetako proposamen baten deskribapena

Joan den ikasturtean Practicum Iean izan nuen esperientzian arabera egingo dut ariketa hau. Lau urteko gelan hiru txoko zeuden, eta horietako bat plastika txokoa zen. Beste biak puzzle txokoa eta eraikuntza txokoa ziren.

Irakaslearen eta ikasleen paperari dagokionez, uste dut nahiko esanguratsua dela txokoei buruzko ikuspegi orokorra: eraikuntza eta plastika txokoak haurrek modu nahiko autonomoan lan egiteko txoko gisa ikusiak ziren, eta puzzle txokoa, aldiz, noizean behin fitxak erabiltzen zirenez, irakaslearen aldetik parte-hartzen zuzenagoa behar zuen txokoa bezala ikusten zen.

Plastikako txokoan mahaiak eta astoak zeuden. Txokoari begira zeuden apaletan hainbat material zegoen: papera, guraizeak, arkatzak, argizariak, plastidecor antzeko margoak, plastilina, gometsak, papera zulatzeko puntzoiak eta horietarako oinarri bigunak eta abar. Astoen oinarrian tenperaz betetako ontziak zeuden, bakoitza bere pintzelarekin (horia, gorria, urdina, berdea). Kola eta hura zabaltzeko egurrezko makilatxoak beharrezkoa zenean ateratzen ziren ontzi txikietan.

Astoetan tenperarekin normalean formatu handia erabiltzen zen (DIN A3), eta mahaietan txikia (DIN A4). Ariketa batzuk haur guztiek egin behar zituzten (adibidez, gai zehatz bati buruzko margolana, edo fitxa bat puntzoiarekin zulatzea edo koloreztatzea), baina beste askotan txokoko jarduerak libreak ziren, haur bakoitzak nahi zuena margotuz. 

Adibidez, udazkenari buruzko proiektua landu zen ni han izan nintzen asteetan, eta haurrek gaztaina batzuen fitxa koloreztatu zuten (gaztainak kolore ubel eta horiz koloreztatu zuen haur baten lana "zuzendu" egin zen, niri dudak sortu zizkidan zerbait), hiru hosto desberdin zituen beste fitxa bat puntzoiarekin zulatuta hostoak banatu eta horiek ere koloreztatu ziren, eta zuhaitz bat margotu zuten tenperaz.

Eguberriak gerturatzean, komuneko paperaren tutuak erabilita eta fitxa bateko zuhaitza koloreztatu eta apainduta, haurrek etxera eramateko eguberrietako zuhaitza egin zuten. Orduan laguntza gehiago behar izan zuten, haiek tenperaz koloreztatutako tutuak lehortzen jartzen, adibidez.

Haurrek aste horietan egin zuten antzerki bati buruzko horma-irudia egin zen ere. Gelako haur baten arrebak zuhaitz handi bat eta txoriak marraztu zituen, eta gelako haurrek apaindu egin zuten guztia collagearen bitartez (orri batean haur bakoitzak bere eskuen siluetak marraztu eta guraizez moztu eta koloreztatu ondoren, eskuak zuhaitzaren adarrak balira bezala itsatsi zituzten horma-irudian).

Gelako neskak oso interesaturik zeuden paperean koroak marraztu, haiek koloreztatu eta apaindu, moztu eta buruan jartzen. Eraztunak ere egiten zituzten teknika bera egiten. Hura ez zen irakasleak proposatutako jarduera izan, haiengandik sortua baizik. Bat hasi, eta beste guztiak haren atzetik hasten ziren horrelakoak egiten.

Ni han egon nintzen asteetan ez nuen ikusi artelanen eredurik haurrei erakusten zitzaienik, eta irakasleak erabili zituen baliabideak aurreko urteetako fitxak izan ziren. Kexu zen denborarik ez zuela jarduera eta baliabide berriak bilatzeko, adibidez Eguberrietan etxera zerbait eramateko prestatzeko orduan.

Nire ustez plastikako txokoaren helburu didaktiko nagusia haurren motrizitate fina garatzea zen. Modu kritikoan begiratuta, esango nuke ez zitzaiola puzzle txokoari (matematikari) bezainbesteko garrantzirik ematen. Agian eraikuntza txokoa zen irakaslearen aldetik prestakuntza eta planifikazioari dagokionez arreta gutxien jasotzen zuena, eta ondoren plastika txokoa. Puzzle txokoan, aldiz, buelta gehiago ematen zitzaizkion zein jarduera proposatu pentsatzeari, eta haurrek egindako lanen jarraipena egiten zen (adibidez, eskura zituzten puzzle guztietatik zeintzuk bakarrik burutu zituzten eta zeintzuk laguntzarekin jasotzen zuen irakasleak idatziz).

Artea eta adimenaren sorkuntza: ideietako batzuei buruzko irudiak

Aurreko sarreran landutako testuko 1, 6, 9, 10 eta 12 puntuei buruzko irudiak bilatu behar ditugu.

1. puntua

6. puntua

9. puntua

10. puntua

12. puntua

Artea eta adimenaren sorkuntza: ideia nagusiak

Portfolioaren bigarren ariketarako, gure irakasleak eskatu digu Eisner-en 2004ko El arte y la creación de la mente. El papel de las artes visuales en la transformación de la conciencia liburuko 10. kapitulua irakurtzeko, bertan azaldutako hamahiru ideien artean bakoitzarentzat garrantzitsuenak direnak aukeratzeko eta norberaren hitzetan azaltzeko. Ondoren, gure talde txikian eztabaidatu eta taldeko lau ideia nagusiak erabakiko ditugu. Nik aukeratutakoak ondokoak dira:

1. Esanahiak askotarikoak dira, eta horiek sortzeko beste hainbat bitarteko behar ditugu

Gizakiaren zeregin garrantzitsuenetako bat esanahiak eraikitzea da, hau da, ikastea. Hezkuntzak, noski, ikaskuntzan paper garrantzitsua du. Esanahiak sortu eta ulertzeko bitarteko diferenteak digu eskura, eta horietako bakoitza erabiltzen trebatu beharra dugu bakoitzari ahalik eta etekin handiena atera ahal izateko, ez baitira norbanakoaren heltze prozesuaren bitartez modu automatikoan garatzen. Gainera, bitarteko horietako bakoitzaren bidez gai baten inguruan esanahi osagarriak eraiki daitezke. Beraz, zenbat eta bitarteko gehiago ezagutu, orduan eta esanahi aberatsagoak eraiki ahal izango dira. 

Eskolak esanahiak eraikitzeko bide gutxi batzuei eskaintzen die arreta gehien: hitzezko hizkuntza eta matematika. Haurrak horietan trebatzeko ahalegin handiak egiten dira, eta horretan ematen dira eskolako ordu gehienak. Arteek (plastikoak, musikak, dantzak, antzerkiak) ikasteko bide berriak eskaintzen dituzte, hitzezko hizkuntzak eta matematikak eskaintzen dituztenen osagarri direnak, eta horiek bezain baliotsuak.

2. Harreman kualitatiboei buruzko iritziak ezagutza somatikoan oinarritzen dira

Ikasteko beste modu batzuetan ez bezala, arteetan esanahi berriak elementuen harreman kualitatiboei erreparatuz eraikitzen dira. Harreman kualitatiboei buruzko iritziak norberaren barrura begiratuta sortuko dira, zentzumenen bitartez sortzen zaizkigun sentsazioetatik abiatuta. Sentsazio horiek hautemateko gaitasuna, sentsibilitatea, garatu egin behar da, eta garapen horren bidez lortuko da bizitzaren zentzu estetikoa.

Arteek sentsibilitate hori lantzeko eta garatzeko aukera eskaintzen dute, ikasteko beste bideek sustatzen duten pentsatzeko moduarekiko desberdina den pentsatzeko modua sorrarazten dute.

9. Eskolako ikasketa-eremu guztien artean, arteak dira dibertsitatea, indibidualtasuna eta ezustekoa gehien sustatzen dutenak

Egungo eskolan (eta munduan) uniformizaziorako, homogeneizaziorako eta estandarizaziorako presioak oso nabarmenak dira. Arteek aukera paregabea eskaintzen dute indar horiei aurre egiteko eta sormena bultzatzeko.

Bestetik, bizitzako esperientziak gero eta aurreikusteko modukoagoak dira; ezustekoari toki gutxi egiten diogu. Eskolan ere horrelaxe gertatzen da, eta ezustekoa eta akatsa etsai bezala ikusten dira. Arteek ezustekoari atea irekitzen diote, sortzeko prozesuan zehar malgutasunaren bitartez.

Arteen bidezko ikaskuntza ebaluatzeko ezinbestean hartu beharko dira indibidualtasuna, aniztasuna eta ezustekoa kontuan. Horrenbestez, ebaluazioak ezingo du izan aurretik finkatutako helmuga jakin eta bakarrarekiko egindako bidearen neurketa, ikasle bakoitzaren ibilbidearen azterketa baizik.

12. Arteen bidez hazteko aukerak amaigabeak dira

Garuna biologikoa den artean, adimena edo gogamena kulturala da. Eskolak paper garrantzitsua du adimenaren garapenean, haurra kulturarekin harremanetan jartzeko bitarteko nagusietako bat delako. Bestetik, hezkuntzak norbanakoaren garapenari egin dakiokeen ekarpenik nagusia bizitzan zehar ikasteko interesa piztea da.

Arteek norbanakoa bir-sortzeko aukera eskaintzen dute, artelana sortzeko prozesuan norbanakoaren izaera islatuko duen emaitza lortzen baita, eta emaitza hori beste bir-sortze baterako abiapuntua izango delako. Beraz, arteek etengabe ikasteko prozesu ziklikoak jartzen dizkiote eskura gizakiari.

Taldean eztabaidatu dugunean, ikusi dugu guztiok komunean jasotako ideia bakarra bederatzigarrena dela eta eztabaida labur baten ondoren, erabaki dugu ondoko ideiak proposatuko ditugula talde bezala: 1, 4, 6 eta 9.