Pentsamendu matematikoaren garapena

Pentsamendu matematikoaren garapenari buruz hirugarren mailako lehen lauhilekoan izan dugun ikasgaia oso interesgarria izan da. Alde batetik, pentsamendu matematikoa haurrengan nola garatzen den ikasi dugu, graduaren hasieran psikologiaren arlotik landutako autore batzuen iritziak aztertuta (Piaget, bereziki).

Bestetik, matematikaren garapenaren historiako alderdi batzuk ezagutu ahal izan ditugu, zenbakikuntza sistemen inguruan bereziki.

Gelan landutako eduki batzuk Haur Hezkuntzan matematikaren didaktikari buruzkoak izan dira, batez ere gai bakoitzaren inguruan material didaktikoak aztertu ditugunean. Hala ere, edukietako asko gu haurraren tokian jartzera zuzenduta egon dira, pentsamendu matematikoaren garapenak zenbaterainoko konplexutasuna zuzenean esperimenta dezagun. Horrela, guretzat hain ohiko bihurtu den hamar oinarria alde batera utzi, eta bestelako oinarrietan eragiketa aritmetikoak egin ditugu, heldutan arnas hartzea bezain natural iruditzen zaizkigun batuketak, kenketak, biderketak eta zatiketak haur batek lehen aldiz lantzen dituenean sentituko duenaz jabe gaitezen.

Jarraian, ikasitako kontzeptuetako batzuk laburbilduko ditut, ikasgaiaren laburpen gisa.

Alderdi metodologikoari begiratuta, matematikaren arlotik bi autore nagusi aipatu ditugu: bata, aurreko puntuan aipatutako Bruner, eta bestea Dienes. Bruner-en garapen kognitiboaren teoriaren arabera, gizakiok kontzeptuak eraikitzeko bideak hiru urrats hauek jarraitzen ditu:

1. Manipulaziozko maila: haurrak mundua arituz ulertzen du (Piaget-en etapa sentso-motorraren antzekoa litzateke).
2. Maila grafikoa: haurra mundua irudikatzen hasten da. Kontzeptu matematikoen kasuan, objektuaren krokisa edo eskema sortuko du. (Piaget-en aurre-eragiketen etaparen antzekoa litzateke).
3. Maila sinbolikoa: haurrak ideia abstraktuak, sinboloak, hizkuntza eta logika ulertu eta erabiliko ditu. Kontzeptu matematikoen kasuan, objektuaren sinboloa erabiliko du.

Helduok ere aplikatzen ditugu hiru urrats hauek berria den zerbait ikasteko. Horregatik, oso garrantzitsua da ikaskuntza prozesuan hiru etapa hauek errespetatzea. Haur Hezkuntzako etapan zehar hiru urratsak burutzen dituen kontzeptu matematiko nagusia (eta normalean bakarra) zifra bakarreko zenbaki arruntak dira.

Dienes matematikari eta psikopedagogoak, bestetik, matematikako kontzeptuen irakaskuntzarako lau printzipio proposatu zituen:

1. Printzipio dinamikoa: haurrek manipulaziozko esperimentaziotik abiatu behar dute kontzeptu matematikoen ikaskuntzan, eta material didaktikoak sekuentzia honi jarraituz erabili behar dira:
• Jolas librea: haurrari materiala aurkeztu eta nahi duen bezala jolasten utziko zaio.
• Jolas arautua: arauak emanez jolasak proposatuko zaizkio haurrari.
• Estrategia jolasak: helburu bat finkatu eta horretara iristeko modu desberdinak daudenez, haurrak bat aukeratu beharko du, arauak errespetatuta. Haur Hezkuntzan ez da lantzen zuzenean, baina bai lantzen da helburu batera iristeko modu diferenteak daudela.
2. Osotasun printzipioa: haurrak hamar bat urte bete arte, eta zenbat eta txikiago, orduan eta gehiago, osotasunetik abiatu behar da, objektua bere osotasunean landu behar da, eta ez bere propietateak isolaturik.
3. Aldakortasun matematikoaren printzipioa: kontzeptu matematikoak bestelako kontzeptu matematikoekin batera agertzen dira, ez isolatuta. Horregatik, kontzeptu bat lantzeko kontzeptu matematiko lagungarriez baliatuko gara. Adibidez, zenbaki arruntak maila grafikoan lantzean, ikurren konfigurazioa eta haien arteko distantzia aldatuko ditugu.
4. Aldakortasun pertzeptiboaren printzipioa: kontzeptu matematikoak askotariko material eta ariketak erabilita landuko ditugu.

Sailkapena eta seriatzeari lotuta, horiek landu ahal izateko haurrak hainbat oinarrizko garapen logiko beharrezko ditu: objektuari lotuta dauden analisia eta sintesia, eta prozesuari lotutako dedukzioa eta indukzioa. Hona hemen horien azalpenak:

• Analisia: objektuaren ezaugarriak zerrendatzean datza; zer den, eta zer ez den azaltzea. Propietateak (kolorea, adibidez) eta propietate bakoitzaren balioa (gorria, adibidez) zehaztuz egiten da.
• Sintesia: kontrako ariketa da; propietateen balioetatik abiatuta, objektua identifikatzea. Asmakizun moduan plantea daiteke (horia da, handia eta azal leunekoa; zein pieza da?).

Sintesia eta analisia lotuta daude; zenbat eta analisia gehiago landu, orduan eta errazago egingo da sintesia. Sailkapena egin ahal izateko, analisia ezinbestekoa da.

• Dedukzioa: arau bat jasota, arau hori beteko duen prozesua abiaraztean datza.
• Indukzioa: prozesu bat ikusita, berau azalduko duen legea formulatzean datza.

Adibidez, haurrari segida bat erakutsi eta jarrai dezala eskatzen zaionean, indukzioa aplikatuko du legea aurkitzeko, eta dedukzioa segida osatzeko. Seriatzea egiteko dedukzioa ezinbestekoa da.
Geometriaren arloan, haurra irudiaren propietate geometriko ezberdinez jabetzen joango da garapenean zehar, ordena honi jarraituta:

1. Ezaugarri topologikoak: marra irekia/itxia, irudiaren barruan/kanpoan/ertzean, antolatzearen ordena/tartean. Piaget-en esanetan, hiru urterekin ematen da jabetza.
2. Ezaugarri proiektiboak: marra zuzena eta poligono motaz ohartzea. 5-6 urterekin lortzen dira.
3. Antzekotasunezko ezaugarriak: paralelotasuna, angeluak.
4. Ezaugarri isometrikoak: luzerak

Hala ere, Van Hiele, Dina eta Pierre-ren ustez, geometriaren ulermena, maila batetik aurrera, garapenari bano gehiago esperientziari lotua dago, hau da, geometriaren lanketari.

Erreferentzia sistemei dagokienez, Haur Hezkuntzako etapako haurrak bere burua erabiliko du lehendabizi erreferentzia gisa, ondoren besteak bere buruarekiko kokatu ahal izango ditu, eta azkenik objektuak beste objektu batzuekiko kokatu ahal izango ditu.

Oinarrizko higidura isometrikoen artean, objektuen desplazamenduak (plano berean eta norabide zehatz batean egindako lekualdaketak) eta biraketak (plano berean eta ardatz batekiko egindako lekualdaketak) ulertuko ditu azkarren haurrak, simetria (planotik aterata ardatz batekiko egindako lekualdatzea) gehiago kostako zaion bitartean.

Aritmetikan, zenbaketa prozesua ulertzeak denbora eramango dio haurrari, kardinala multzoaren propietatea dela barneratzea, eta berau multzoko elementuen propietate fisikoetatik independentea dela eta bijekzioaren bitartez topatutako baliokidetasuna iraunkorra dela barneratzea kostako zaizkiolako. Haur Hezkuntzaren etaparen amaieran lortuko du.

Magnitudeei dagokienez, gogoratu behar dugu alde batetik magnitude diskretuak ditugula, hau da, konta daitezkeenak (adibidez, kardinala) eta, bestetik, magnitude jarraiak, hau da, neurtzen direnak. Azken hauen artean magnitude geometrikoak (luzera, anplitudea, azalera eta bolumena) eta fisikoak ditugu (pisua, denbora, masa, tenperatura eta abar). Magnitude jarraien neurketan, unitate arbitrario bat erabaki ondoren, beti hiru alderdi dituen prozesua burutu behar da:

1. Alderdi fisikoa: unitatearen kopiak sortu eta bata bestearen jarraian modu egokian jarri.
2. Alderdi logikoa: unitatearen kopiak kokatu ahala norberaren buruari galdetu behar zaio ea iritsi ote garen neurtu nahi genuenaren mugara eta, erantzunaren arabera, unitate gehiago gehitzen jarraitu, ala gelditu.
3. Alderdi aritmetikoa: erabilitako unitateen kopurua kontatu.

Piaget-en esanetan, haurrak sei urterekin barneratzen ditu kardinala, luzera, masa eta edukieraren iraunkortasuna edo kontserbazioa; bederatzi urterekin azalerarena, eta hamabi urteak arte ez da gai bolumena, pisua eta masa haien artean erlazionatzeko. Aurrerapauso horiek esperientziaren bitartez emango ditu, eta horregatik Piaget-ek ondoko ordena proposatzen du kontzeptu horien didaktikarako:

1. Neurketaren beharraz jabetzea. Irakasleak galderak eginez sortuko du kezka hori haurrarengan (kaxa hau kabituko ote da horko armairuan?).
2. Kantitateen arteko konparaketa modu zuzenean egitea (kaxa eskuetan hartu eta armairura eramanda).
3. Konparaketa modu zuzenean egiterik ez bada, bitartekotza gorputz-atal batekin egitea (kaxa oso astuna bada, besoa erabili kaxa eta armairuko zuloa neurtzeko).
4. Bitartekotza edozein objekturekin egitea (arkatz bat erabili kaxa eta armairuaren zuloa neurtzeko).

Hortaz, magnitudeen neurketa konplexutasun handiko prozesua da, Haur Hezkuntzako etaparen barruan hainbat magnituderentzat erabateko ulermenaz osatzen oso zaila izango dena. Bestetik, pisuaren kasuan neurketaren alderdi logikoa burutzen zaila da, pisuaren pertzepzioa nahiko subjektiboa delako, eta horregatik balantzaren beharra dago pisatu nahi den objektua eta erabilitako unitatearen kopiak konparatu ahal izateko. Bolumenari dagokionez, Haur Hezkuntzan edukiera landu ohi da (sakonera baten bolumena), eta ez dira unitateak lantzen. Denbora ulertzeko oso zaila den magnitudea da eta horregatik Haur Hezkuntzan denbora sekuentzien seriatzea landu ohi da. Orokorrean, ez da inolako magnituderen neurketarik egiten aipatutako hiru alderdiak osotasunean burutuz, baizik eta magnitudeekiko seriatzeak landu edo gorputzarekin eta objektuekin bitartekotza aplikatuta neurketak egin.

Beraz, magnitudeen artean argi dago Haur Hezkuntzako etapan neurtzeko modukoak izan daitezkeen nagusiak kardinala, luzera eta edukiera izango direla, eta neurketa egiteko ez direla orokorrean ohiko unitateak erabiliko.